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三角形中的线段 动态焦点
2023-06-26 20:00:57    来源:哔哩哔哩

上次我们算出了三角形的高,中线,角平分线的公式,当时我算出来的高的公式是


【资料图】

√(-a⁴-b⁴-c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²)/2c

当时我以为括号里的式子不能再化简了,直到后来看到一个视频,讲了如何因式分解式子    a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²,他将a看作字母,b,c看作数,进行因式分解,但是过程我不记得了,就顺着这个思路进行分解:

原式=a⁴-2a²b²-2a²c²+b⁴+c⁴-2b²c²

=a⁴-2(b²+c²)a²+b⁴+c⁴-2b²c²

=a⁴-2(b²+c²)a²+(b²-c²)²

到这一步后,我一开始想用平方差公式和十字相乘法进行因式分解,但是发现用了平方差后就无法用十字相乘法分解了。思考了一段时间后,我想到了配方,:

a⁴-2(b²+c²)a²+b⁴+c⁴-2b²c²

=a⁴-2(b²+c²)a²+b⁴+c⁴+2b²c²-4b²c²

=a⁴-2(b²+c²)a²+(b²+c²)²-4b²c²

=(a²-b²-c²)²-(2bc)²

=(a²-b²-c²+2bc)(a²-b²-c²+2bc)

这样,我们就把这个式子分解了

所以三角形边长为c的边上的高

h=

√[(a²-b²-c²+2bc)(a²-b²-c²+2bc)]/2c

面积S=

√[(a²-b²-c²+2bc)(a²-b²-c²+2bc)]/4

再求出三角形的中线长和角平分线长的公式后,我又想,能不能求出三角形顶点和将它的对边分成m,n两份的点的连线(我称之为“m∶n分边线”)的长度,以及将一个内角分为α和β两部分的线段(我称之为“α∶β分角线”)的长呢?也就是下面两幅图中的CD长

(1)“m:n分边线”CD

和上次的思路一样,我仍然用余弦定理得出两个等式,然后相减

a²=m²+l²-2mlcosα                                  ①

b²=n²+l²-2nlcos(180°-α)

=n²+l²+2nlcosα                                       ②

①-②,得a²-b²

=m²-n²-2lcosα(m+n)

=(m+n)(m-n)-(m+n)2lcosα

=(m+n)(m-n-2lcosα)

=c(m-n-2lcosα)

=mc-nc-2clcosα

所以2clcosα=mc-nc-a²+b²

由余弦定理可以得到,

cosα=(m²+l²-a²)/(2ml)

所以2cl·(m²+l²-a²)/(2ml)

=mc-nc-a²+b²

消去2l,两边同乘m,得

c(m²+l²-a²)=m²c-mnc-ma²+mb²

所以cm²+cl²-ca²=m²c-mnc-ma²+mb²

消去cm²,将ca²变为ma²+na²并移到右边,得

cl²=ma²+na²+mb²-ma²-mnc

约去ma²和-ma²,两边同除以c,得

l²=(na²+mb²-mnc)/c

=a²n/c+b²m/c+mn

所以l=√(a²n/c+b²m/c+mn)

(2)“α:β分角线”CD

一开始,我打算用之前的方法,用余弦定理得出两个式子,然后不断变化,得出结果。但是我发现这种方法计算量很大(我懒得算了),所以我放弃了这种方法。

接着,我想到了数学中的转化思想。只要我用a,b,c,α,β表示出m/c,n/c以及mn,就可以直接代入“m:n分边线”的公式得出“α∶β分角线”的公式。

这时就用到了面积法。

由于△BDC和△ADC在BD,AD边上的高相等,所以

S△BDC∶S△ADC=BD∶AD

又因为S△BDC=1/2×alsinα

S△ADC=1/2 ×blsinβ

所以S△BDC∶S△ADC=asinα∶bsinβ

所以asinα∶bsinβ=BD∶AD=m∶n

所以m∶n∶c=asinα:bsinβ:asinα+bsinβ

所以n/c=bsinβ/(asinα+bsinβ)

m/c=asinα/(asinα+bsinβ)

那么怎么表示mn呢?

因为m∶n∶c=asinα:bsinβ:asinα+bsinβ

所以我们可以设

c=k(asinα+bsinβ)

m=kasinα,n=kbsinβ

k=c/(asinα+bsinβ)

所以mn=k²absinαsinβ

=abc²sinαsinβ/(asinα+bsinβ)²

所以l²=a²n/c+b²m/c-mn

=a²bsinβ/(asinα+bsinβ)+b²asinα/(asinα+bsinβ)-abc²sinαsinβ/(asinα+bsinβ)²

=ab(asinβ+bsinα)(asinα+bsinβ)/(asinα+bsinβ)²-abc²sinαsinβ/(asinα+bsinβ)²

=[ab(a²sinαsinβ+b²sinαsinβ+absin²α+absin²β)-abc²sinαsinβ]/(asinα+bsinβ)²

=[ab(a²sinαsinβ+b²sinαsinβ+absin²α+absin²β+2absinαsinβ-2absinαsinβ)-abc²sinαsinβ]/(asinα+bsinβ)²

=ab[(a+b)²sinαsinβ-c²sinαsinβ+(sinα+sinβ)²ab]/(asinα+bsinβ)²

=ab{[(a+b)²-c²]sinαsinβ+(sinα-sinβ)²ab}/

(asinα+bsinβ)²

=ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)²ab]/(asinα+bsinβ)²

所以l=√{ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)²ab]}/(asinα+bsinβ)

也许打字看起来有点乱,所以这一步我在纸上写了一遍

这样,我们就得到了三角形中“m∶n分边线”和“α∶β分角线”的公式:

“m∶n分边线”l=√(a²n/c+b²m/c+mn)

“α∶β分角线”l=√{ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)²ab]}/(asinα+bsinβ)

这篇文章真的花费了作者很长时间,喜欢就点个赞吧,三连更好

错误的地方可以指出来(错别字就算了) ,真理越辩越明

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三角形中的线段 动态焦点

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